2 次元磁場解析 No.2 / ガラーキン法弱形式化

2 次元磁場解析 No.2 / ガラーキン法弱形式化
２次元準定常磁場解析の支配方程式は以下のように表されることがわかりました。
	（2.1）
式(2.1)に，要素の補間関数ベクトル {N} を重み関数として採用したガラーキン法を適用すると次式が得られます。
	（2.2）
ここで， S は全領域 S_J は，駆動電流（強制電流，励磁電流とも言います)が流れるコイル領域 S_M は磁化が問題となる磁性体領域（例えば永久磁石や磁気テープ) S_e は渦電流が流れる導体領域（例えば鉄心コアやアルミなど）を表します。
静磁場項の弱形式化
式（2.2）の左辺の第 1 項および第 5 項は，領域境界における磁束の連続性に関する項であり，部分積分により弱形式化します．まず式（2.2）の左辺第 1 項からです。
	（2.3）
次のスカラー関数 U と V の公式を考えます。
	（2.4）
この両辺を面積積分すると
	（2.5）
ここで左辺にガウスの発散定理
	（2.6）
を適用した次の式を得ます。
	（2.7）
この式を整理した次の形が部分積分の公式になります。
	（2.8）
この部分積分の公式で
	（2.9）
	（2.10）
	（2.11）
	（2.12）
	（2.13）
と考えれば，式（2.3）は次のように変形されます。なおベクトル公式との対応をわかりやすくするため積分の文字を dxdy = dS と置き換えてあります式の本質的な意味は同じです。
	（2.14）
式（2.14）の右辺第 1 項は，解析領域最外周の境界積分項です。ここで，磁界 H [A/m] は，
	（2.15）
であるので，二次元場では次の式が成り立ちます。
	（2.16）
また境界上での法線ベクトル n は
	（2.17）
であるから，二つのベクトルの外積は
	（2.18）
となります．ここで磁場が境界に対して垂直となる条件(自然境界条件)
	（2.19）
を課すと，
	（2.20）
となるので，式(2.14)の右辺第 1 項は 0 となります。この項を 0 とすると境界上で磁界が垂直になるような自然境界が自動的に満たされることになります。すなわち境界条件を特に指定しなければ，自然境界条件が自動的に満たされるように定式化の段階で設定したことになります。これは有限要素法の大きな特徴の一つです。以上より，静磁場項は弱形式化され次のように表されることがわかりました。
	（2.21）
等価磁化電流密度項の弱形式化
式（2.3）の左辺第 5 項は，等価磁化電流密度項です。
	（2.22）
左辺第 1 項のときと同様に，部分積分の公式（2.8）を考えます。
	（2.8）
この部分積分の公式で
	（2.23）
	（2.24）
	（2.25）
	（2.26）
	（2.27）
と考えれば，式（2.22）は次のように変形されます。
	（2.28）
ここで，Γ_M は磁化が問題となるような磁性体の境界を表します。ここで，磁化 M と磁性体の境界 Γ_M の法線ベクトルとの外積を考えます。
	（2.29）
磁性体の境界上で磁化が垂直となるような条件
	（2.30）
を課すと，境界積分項は消去され，磁性体境界に対して磁束線が常に垂直となる条件が導入されました。これは物理的な磁束線の境界条件に他なりません。以上より，式（2.22）の等価磁化電流密度項にガラーキン法を適用した式は次のようになります。
	（2.31）