2 次元磁場解析 No.6 / ガラーキン法 / 三角形要素の面積
三角形要素の内挿関数を導出する際に三角形要素の面積⊿が現われますが，これは次のようにして導かれます。
まず，三角形要素の頂点 1 と 2 を結んでできるベクトルを P ，頂点 1 と 3 を結んでできるベクトルを Q と すると成分は次のようになります。
　　
（6.1）
このとき，外積 P × Q は次のように計算されます。
（6.2）
この外積の大きさは，
(6.3)
これは，下の図１に示すような三角形要素の 2 倍の平行四辺形の面積表します。

ベクトルの外積と面積

図１　ベクトルの外積と三角形要素の面積

一方，式（5.3）
（5.3）
のマトリックスの行列式は次のようにして計算されます。 このとき，途中の式変形に注意してください。
（6.4）
したがって，これは式（5.5）と等しいことがわかります。
すなわち，
（6.5）
行列式は三角形要素の面積の 2 倍を表していることがわかります。
すなわち，
（6.6）
であることが示されました。